La unión del conjunto de los números
racionales con el conjunto de los números irracionales recibe el nombre de
conjunto de los números
reales, y se
denota con el símbolo:
El conjunto de los números reales está
formado por una serie de subconjuntos de números que definiremos a
continuación:
Los números naturales que surgen con la
necesidad de contar
=
{1, 2, 3, 4,...}
Los números enteros que complementan a los naturales pues son contienen
a los negativos y el cero.
El conjunto de los Números
Racionales (
) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión
decimal es finita, infinita periódica o infinita
semiperiódica. Es decir, el conjunto de los números racionales está
compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una fracción cuyo
numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros.
Ejemplo:
= {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....}
- El conjunto de los Números
Irracionales (I) que está formado por la unión de
todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.
Puesto que los naturales están incluidos en los enteros y todos los enteros pueden ser
representados como un número racional, se dice que
los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales.
2- Propiedades.
Las propiedades de las operaciones que
involucran números racionales se extienden naturalmente a los números
reales:
Las operaciones básicas tienen como resultado números reales; es decir,
de la adición, sustracción, multiplicación y división de números reales se
obtiene siempre un número real. Es decir, el conjunto de los números reales es cerrado.
La adición y la multiplicación de números
reales satisfacen las propiedades de conmutatividad y asociatividad; cada operación tiene un elemento
neutro y cada
número real tiene su elemento inverso, tanto
aditivo como multiplicativo (excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo).
Además, la multiplicación es distributiva respecto de la adición.
Es un conjunto denso, esto es, entre dos
números reales siempre hay otro número real.Los números
racionales, cuando se escriben como números decimales, son
finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos. Sin embargo, los números
irracionales son
siempre números decimales infinitos pero no periódicos. Considerando su
representación en la recta numérica, los números reales ocupan la recta
numérica por completo, ya que los números irracionales completan todos los
espacios dejados por los racionales en la recta numérica.
Propiedades de la Suma de
números reales
1 Interna: El
resultado de sumar dos números reales es otro número real.
a + b
+
2 Asociativa: El modo
de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b +
c) ·
3 Conmutativa: El
orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
4 Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con
él da el mismo número.
a + 0 = a
+ 0 =
5 Elemento opuesto:
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
e − e = 0
El opuesto del opuesto de
un número es igual al mismo número.
−(−
) =
Diferencia de números
reales
La diferencia de
dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del
sustraendo.
a − b = a + (−b)
Producto de números reales
La regla de los
signos del producto de los números enteros y
racionales se sigue manteniendo con los números reales.
Propiedades:
1 Interna:
El resultado de
multiplicar dos números reales es otro número real.
a · b
2 Asociativa: El modo
de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números
reales cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
(e ·
) ·
= e · (
·
)
3 Conmutativa: El
orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
4 Elemento neutro: El
1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado
por él da el mismo número.
a ·1 = a
· 1 =
5 Elemento opuesto:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el
elemento unidad.
6 Distributiva: El
producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a ·
c
· (e +
) =
· e +
·
7 Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la
propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen
un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho
factor.
a · b + a · c = a · (b +
c)
· e +
·
=
· (e +
)
División de números reales
La división de
dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del
divisor.
